Geometría y trigonométrica: Ecuación de la recta en el plano

ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO

Es una expresión con dos variables que representa a todos los puntos de la recta y puede adoptar distintas formas, todas equivalentes entre sí.

Las dos variables, X e Y, se llaman: a la X variable independiente, la Y variable dependiente, porque es la que suelo despejar en función de la X.

Siempre que haga la ecuación de una recta, necesito un punto y la dirección de la recta, o dos puntos.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Son las distintas expresiones que representan a todos los puntos de la recta.

Son todas equivalentes.
DE UNAS DE PUEDE PASAR A OTRAS.

FORMA VECTORIAL

Si pasa por el origen, es simplemente multiplicar un vector por un número. Así represento a un conjunto de puntos alineados.
Si pasa por un punto P y es paralela al vector “v”

“λ” recibe el nombre de “PARÁMETRO” Y ES UN NÚMERO REAL CUALQUIERA.
SI NO FUESE REAL, SERIA PUNTOS SUELTOS ALINEADOS Y NO TODOS LOS PUNTOS DE UNA RECTA.

EJEMPLO: P=(2,3) y V=(3,1)

Para representarla, basta dar valores al parámetro “λ” y vamos obteniendo tantos puntos como queramos y siempre alineados.

FORMA PARAMÉTRICA

Consiste en despejar en la forma vectorial x e y.

Se puede obtener a partir de la forma vectorial.
Se puede hacer directamente, siempre que tengamos un punto por donde pasa y el vector.

⇒ Ejemplo

FORMA CONTINUA

Se trata de eliminar el parámetro de la ecuación.

Se puede construir directamente.
Se puede despejar a partir de la forma paramétrica.

⇒ Ejemplo

FORMA PUNTO-PENDIENTE

Recibe ese nombre , porque queda en función del punto y de la pendiente del vector o de la recta.

⇒Ejemplo

Al coeficiente de x, es la pendiente de la recta y se representa por m.
La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta o el vector con el eje de abscisas, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y desde el eje OX positivo.

FORMA EXPLÍCITA O REDUCIDA

Se trata de dejar la forma con la variable “y” despejada.

Se puede despejar a partir de la forma punto pendiente o de la forma continua.
“m” es la pendiente de la recta.
“n” es la ordenada del punto de corte de la recta con el eje de ordenadas. (0,n)

1/3 es la pendiente
(0,7/3) el punto de corte de la recta con el eje “OY”
En la figura se muestra el vector de la recta, (3,1) y el vector perpendicular (1,-3) que se obtiene cambiando los números entre sí y uno de signo.

FORMA GENERAL

Se trata de dejar una ecuación, con dos variables e igualada a cero

Lo fundamental de la forma general es que es la manera idónea de tener una recta para resolver un sistema con otra y ver su punto de corte.
Otro punto importante es que los coeficientes de las variables forman un vector perpendicular a la recta.
(A, B) es un vector perpendicular a la recta, por tanto el vector de la recta es (B, -A).

FORMA SEGMENTARIA

Esta forma se obtiene a partir de la general.

SE TRATA DE DEJAR UNA EXPRESIÓN, DE TAL FORMA QUE LOS DENOMINADORES DE LAS VARIABLES , SON LAS MEDIDAS DE LOS SEGMENTOS DETERMINADOS POR LA RECTA AL CORTAR A LOS EJES DE COORDENADAS.